เรขาคณิตและการทดลอง

ตัวอย่างต่อไปของเราจะยิ่งเหลือเชื่อกว่าตัวอย่างเกี่ยวกับลิฟต์ที่ตกลงมาไป อีก  เราจะต้องจัดการกับปัญหาเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฏีสัมพัทธภาพทั่วไป และเรขาคณิต  เราลองเริ่มต้นด้วยคำอธิบายเกี่ยวกับโลก  ซึ่งมีสัตว์โลกสอง - มิติเท่านั้นอาศัยอยู่และไม่เหมือนในโลกของเราซึ่งมีสัตว์โลกสาม - มิติอาศัยอยู่  ภาพยนตร์ทำให้เราคุ้นเคยกับสัตว์โลกสอง - มิติ ที่แสดงอยู่บนภาพยนตร์สอง - มิติ ตอนนี้เราลองนึกภาพว่ารูปเงาเหล่านี้  หรืออีกนัยหนึ่งคือนักแสดงที่อยู่บนจอภาพยนตร์มีอยู่จริง จริงๆ นึกภาพว่ามันมีความสามารถในการคิด  นึกภาพว่าเขาสร้างวิทยาศาสตร์ของเขาขึ้นเองได้ นึกภาพว่าสำหรับเขา จอภาพยนตร์สอง - มิติเป็นสัญลักษณ์ของอวกาศเชิงเรขาคณิต สัตว์โลกเหล่านี้ไม่สามารถนึกภาพอวกาศสาม - มิติในลักษณะที่เป็นรูปธรรม ในลักษณะเดียวกับที่เราไม่สามารถนึกภาพโลกของสี่ - มิติได้เขาทำให้เส้นตรงเปลี่ยนทิศทางได้ คือเขารู้ว่าทรงกลมคืออะไร แต่เขาไม่สามารถสร้างทรงกลมขึ้นได้เพราะว่านี่จะหมายถึงการทิ้งจอภาพยนตร์ สอง - มิติของเขาไป เราอยู่ในสถานการณ์ที่คล้ายกัน เราสามารถเปลี่ยนทิศทางและตัดเส้นและพื้นผิวให้โค้งได้  แต่เราแทบจะไม่อาจนึกภาพอวกาศสาม - มิติที่ถูกเปลี่ยนทิศทางและถูกตัดให้โค้งได้

          โดยการมีชีวิตอยู่  การคิดและการทดลองในที่สุดรูปเงาของเราก็สามารถเรียนรู้เรื่องเรขาคณิตระบบ ยุคลิดสอง - มิติจนเข้าใจเป็นอย่างดีได้  ตัวอย่างเช่น  เขาอาจพิสูจน์ได้ว่าผลบวกของมุมต่างๆ ในสามเหลี่ยมคือ 180 องศาเป็นจริง เขาสามารถสร้างวงกลมสองวงที่มีจุดศูนย์กลางเดียวกันโดยที่วงหนึ่งเล็กมาก อีกวงหนึ่งใหญ่ได้  เขาจะพบว่าอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมแบบนั้นสองวงเท่ากับอัตราส่วนของ รัศมีของมัน ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่เป็นลักษณะเฉพาะตัวของเรขาคณิตระบบยุคลิดอีกครั้ง  ถ้าจอภาพยนตร์มีขนาดใหญ่โตอย่างไม่จำกัด  สิ่งมีชีวิตเงาเหล่านี้จะพบว่าพอเริ่มเดินทางตรงไปข้างหน้าแล้ว เขาก็จะไม่มีวันกลับคืนสู่จุดเริ่มต้นของเขาอีก

          ตอนนี้เราลองนึกภาพสัตว์โลกสอง - มิติเหล่านี้ซึ่งอาศัยอยู่ในสภาพที่เปลี่ยนไป เราลองนึกภาพว่าใครคนหนึ่งจากภายนอกซึ่งเป็น “มิติที่สาม”  ที่ย้ายตัวเขาจากจอภาพยนตร์ไปที่พื้นผิวของทรงกลมที่รัศมีมีขนาดใหญ่โตมาก  ถ้าเขาเหล่านี้เล็กมากเมื่อเทียบกับพื้นผิวทั้งหมด   ถ้าเขาไม่มีเครื่องมือสื่อสารทางไกลและเคลื่อนที่ได้ไม่ไกลมาก  ดังนั้นเขาจะไม่รู้ว่าเกิดการเปลี่ยนแปลงใดๆ ขึ้น   ผลบวกของมุมในสามเหลี่ยมเล็กๆยังรวมแล้วเท่ากับ 180 องศา  วงกลมเล็กๆ สองวงที่มีจุดศูนย์กลางเดียวกันยังแสดงว่าอัตราส่วนของรัศมีและเส้นรอบวงของ มันเท่ากัน   การเดินทางตามแนวเส้นตรงจะไม่มีวันนำเขากลับไปสู่จุดเริ่มต้นอีก

          แต่ให้สิ่งมีชีวิตเหล่านี้หลังจากช่วงเวลาหนึ่งพัฒนาความรู้เชิงเทคนิคและ เชิงทฤษฏีของเขาให้เขาพบเครื่องมือสื่อสารซึ่งจะทำให้เขาสามารถครอบคลุมระยะ ทางมากๆ ได้อย่างรวดเร็ว   ดังนั้นเขาจะพบว่าการเริ่มเดินทางตรงไปข้างหน้าในที่สุดเขาจะกลับคืนสู่จุด เริ่มต้นของเขา “ตรงไปข้างหน้า”  หมายถึงตามแนววงกลมที่มีขนาดใหญ่โตของทรงกลม  เขาจะพบด้วยว่าอัตราส่วนของวงกลมสองวงที่มีจุดศูนย์กลางเดียวกันไม่เท่ากับอัตราส่วนของรัศมี  ถ้ารัศมีหนึ่งเล็กและอีกรัศมีหนึ่งใหญ่มาก

          ถ้าสัตว์โลกสอง - มิติของเราอนุรักษ์นิยมถ้าเขาได้เรียนรู้เรขาคณิตระบุยุคลิดเป็นเวลาหลาย ชั่วอายุคนมาแล้ว  เมื่อเขาเดินทางได้ไม่ไกลและเมื่อเรขาคณิตนี้เข้ากันได้กับข้อเท็จจริงที่ เขาสังเกตเห็น   แน่นอนว่าเขาจะพยายามทุกวิถีทางที่เป็นไปได้ที่จะรักษามันไว้   แม้ว่าจะมีหลักฐานการวัดต่างๆของเขา  เขาอาจพยายามที่จะทำให้ฟิสิกส์แบกรับภาระและความไม่สอดคล้องตรงกันเหล่านี้ ได้   เขาอาจพยายามหาเหตุผลเชิงฟิสิกส์บางอย่าง   ตีเสียว่าความแตกต่างของอุณหภูมิ  ซึ่งทำให้เส้นผิดรูปร่างไปและเป็นสาเหตุของการเบี่ยงเบนไปจากเรขาคณิตระบบ ยุคลิด  แต่ไม่ช้าก็เร็ว  เขาจะต้องพบว่ามีวิธีการอธิบายสิ่งที่เกิดขึ้นเหล่านี้ที่น่าเชื่อตาม และมีตรรกะมากกว่ามาก ท้ายที่สุดเขาจะเข้าใจว่าโลกของเขาเป็นโลกที่มีขอบเขตจำกัดซึ่งมีหลักการ เชิงเรขาคณิตที่ต่างจากหลักการที่เขาได้เรียนรู้มา  ทั้งๆที่เขาไม่สามารถนึกภาพมันได้  เขาจะเข้าใจว่าโลกขงเขาเป็นพื้นผิวสอง - มิติของทรงกลม ในไม่ช้าเขาจะเรียนรู้หลักการเชิงเรขาคณิตใหม่ๆ ซึ่งแม้ว่าจะต่างจากระบบยุคลิด  แต่อย่างไรก็ตามอาจถูกกำหนดในลักษณะที่มีตรรกะ  และสอดคล้องกันเท่าๆ กันได้สำหรับโลกสอง - มิติของเขา เนื่องจากคนรุ่นใหม่ถูกอบรมเลี้ยงดูด้วยความรู้ของเรขาคณิตของทรงกลม เรขาคณิตระบบยุคลิดแบบเก่า จะดูเหมือนว่ายุ่งยากและไม่เป็นธรรมชาติมากกว่า  เนื่องจากมันเข้ากันไม่ได้กับข้อเท็จจริงที่เขาสังเกตเห็น

          เราจะลองกลับไปพูดเรื่องสัตว์โลกสาม - มิติของโลกของเรา
          คำกล่าวที่ว่าอวกาศสาม - มิติของเรามีลักษณะเฉพาะแบบยุคลิดหมายความว่าอย่างไร?   ความหมายก็คือว่าการ ทดลองจริงๆ อาจยืนยันคำกล่าวเกี่ยวกับเรขาคณิตระบบยุคลิดทั้งมวลที่ได้รับการพิสูจน์ อย่างมีตรรกะว่าเป็นจริงได้ด้วย  โดยอาศัยวัตถุแข็งเกร็งหรือรังสีแสง  เราอาจสร้างวัตถุที่สอดคล้องกับวัตถุเชิงอุดมคติของเรขาคณิตระบบยุคลิดได้   ขอบไม้บรรทัดหรือรังสีแสงสอดคล้องกับเส้น ; ผลบวกของมุมของสามเหลี่ยมที่ถูกสร้างด้วยไม้แข็งเกร็งบางๆ คือ 180 องศา ; อัตราส่วนของรัศมีของวงกลมสองวงที่มีจุดศูนย์กลางเดียวกันที่ถูกสร้างขึ้น จากเส้นลวดบางที่ไม่อาจตัดให้ตรงได้  เท่ากับอัตราส่วนของเส้นรอบวงของมัน  ถ้าตีความในลักษณะนี้ เรขาคณิตระบบยุคลิดจะกลายเป็นบทหนึ่งของฟิสิกส์  แม้ว่าจะเป็นบทที่ง่ายมาก

          แต่เราอาจนึกภาพว่าเราได้ค้นพบความไม่สอดคล้องตรงกันแล้วเช่นนึกภาพว่าผลบวก ของมุมของสามเหลี่ยมขนาดใหญ่ที่ถูกสร้างขึ้นจากไม้วัด  ซึ่งด้วยเหตุผลหลายประการจะต้องถูกมองว่าแข็งเกร็ง  นั้นไม่ใช่  180 องศา เนื่องจากเราคุ้นแล้วกับความคิดเกี่ยวกับการนำเสนอที่เป็นรูปธรรมของวัตถุ ของเรขาคณิตระบบยุคลิดด้วยวัตถุแข็งเกร็ง  เราน่าจะพยายามหาแรงเชิงฟิสิกส์บางอย่างที่เหมือนเป็นสาเหตุของความประพฤติ ผิดที่คาดไม่ถึงเช่นนั้นของไม้วัดของเรา  เราน่าจะพยายามหาธรรมชาติเชิงฟิสิกส์ของแรงๆ นี้  และอิทธิพลของมันที่มีต่อปรากฏกราณ์อื่นๆ เพื่อรักษาเรขาคณิตระบบยุคลิดไว้   เราน่าจะกล่าวหาว่าวัตถุไม่แข็งเกร็งและไม่ค่อยสอดคล้องกับวัตถุของเรขาคณิต ระบบยุคลิด  เราน่าะพยายามหาการนำเสนอที่ดีกว่าเกี่ยวกับวัตถุที่ประพฤติตัวในลักษณะที่ เรขาคณิตระบบยุคลิดคาดหมายไว้  แต่ถ้าเราไม่น่าจะประสบความสำเร็จในการรวมเรขาคณิตระบบยุคลิดและฟิสิกส์เข้า ด้วยกันเป็นภาพที่ง่ายและสอดคล้องกัน  เราน่าจะต้องเลิกล้มความคิดที่ว่าอวกาศของเราเป็นระบบยุคลิดและพยายามที่จะ หาภาพของความเป็นจริงที่น่าเชื่อตามกว่าโดยใช้สมมติฐานที่ทั่วไปมากกว่า เกี่ยวกับลักษณะเฉพาะเชิงเรขาคณิตของอวกาศของเรา

          เราอาจแสดงให้เห็นความจำเป็นของสิ่งนี้ได้ด้วยการทดลองเชิงอุดมคติ  ซึ่ง แสดงว่าที่จริงฟิสิกส์เชิงสัมพัทธภาพไม่อาจอิงกับเรขาคณิตระบบยุคลิดได้   การให้เหตุผลของเราจะแฝงความหมายผลลัพธ์ซึ่งเราได้เรียนรู้ไปแล้วเกี่ยวกับ รพ เฉื่อย และทฤษฏีสัมพัทธภาพพิเศษ

          นึกภาพจานขนาดใหญ่ที่เราเขียนรูปวงกลมสองวงที่มีจุดศูนย์กลางเดียวกันไว้บน จานนี้  วงหนึ่งเล็กมากอีกวงหนึ่งมีขนาดใหญ่มาก  จานหมุนอย่างรวดเร็ว  จานกำลังหมุนสัมพัทธ์กับผู้สังเกตภายนอกและมีผู้สังเกตภายในอยู่บนจาน   เราสมมติต่อไปอีกว่า  รพ  ของผู้สังเกตภายนอกเป็นระบบเฉื่อย ใน  รพ  เฉื่อยของเขาผู้สังเกตภายนอกอาจจะเขียนรูปวงกลมสองวงเหมือนกัน  ซึ่งมีขนาดเล็กและใหญ่  และอยู่นิ่งใน รพ ของเขา แต่ทับ

กันสนิทกับวงกลมที่อยู่บนจานที่หมุน    เรขาคณิตระบบยุคลิดถูกต้องใน  รพ  ของเขาเนื่องจากมันเฉื่อย  ดังนั้นเขาจะพบว่าอัตราส่วนของเส้นรอบวงเท่ากับอัตราส่วนของรัศมี  แต่ผู้สังเกตที่อยู่บนจานล่ะจะเป็นอย่างใร?   จากทรรศนะของฟิสิกส์ยุคเก่าและทฤษฏีสัมพัทธภาพพิเศษด้วย  รพ  ของเขาเป็นระบบที่ต้องห้าม  แต่ถ้าเราตั้งใจจะหารูปแบบใหม่ๆ สำหรับกฎเชิงฟิสิกส์ซึ่งถูกต้องใน  รพ ใดๆ  ดังนั้นเราจะต้องปฏิบัติต่อผู้สังเกตที่อยู่บนจานและผู้สังเกตที่อยู่ภายนอก ด้วยความจริงจังเท่ากัน   จากภายนอกตอนนี้เรากำลังเฝ้าสังเกตผู้สังเกตภายใน ในความพยายามของเขาที่จะหาเส้นรอบวงและรัศมีบนจานที่หมุนโดยการวัด  เขาใช้ไม้วัดอันเล็กๆ เหมือนกับที่ผู้สังเกตภายนอกใช้   "เหมือนกับ"  หมายความว่าเป็นอันเดียวกันจริงๆ หรืออีกนัยหนึ่งคือ  ผู้สังเกตภายนอกยื่นให้ผู้สังเกตภายใน  หรือไม้วัดอันหนึ่งในสองอันที่มีความยาวเท่ากันเมื่ออยู่นิ่งใน รพ หนึ่ง

          ผู้สังเกตภายในที่อยู่บนจานเริ่มวัดรัศมีและเส้นรอบวงของวงกลมวงเล็ก  ผลลัพธ์ของเขาจะต้องเหมือนกับผลลัพธ์ของผู้สังเกตภายนอก  จานหมุนที่อยู่บนแกนที่ผ่านทะลุจุดศูนย์กลาง  ส่วนของจานที่อยู่ใกล้จุดศูนย์กลางนั้นมีความเร็วน้อยมาก   ถ้าวงกลมเล็กพอ   เราอาจใช้กลศาสตร์ยุคเก่าได้อย่างแน่นอนและไม่แยแสใส่ใจทฤษฏีสัมพัทธภาพ พิเศษได้   นี่ก็หมายความว่าไม้วัดมีความยาวเท่ากันสำหรับผู้สังเกตภายนอกและภายใน  และผลของการวัดสองแบบนี้จะเหมือนกันสำหรับเขาทั้งสอง   ตอนนี้ผู้สังเกตที่อยู่บนจานวัดรัศมีของวงกลมใหญ่   เมื่อเราวางไม้วัดบนรัศมีสำหรับผู้สังเกตภายนอกไม้วัดเคลื่อนที่  แต่ไม้วัดเช่นนั้นไม่ได้หดตัว  และจะมีความยาวเหมือนกันสำหรับผู้สังเกตทั้งสอง เนื่องจากทิศของการเคลื่อนที่ตั้งฉากกับไม้วัด   การวัดสามแบบจึงเหมือนกันสำหรับผู้สังเกตทั้งสอง  คือรัศมีสองเส้นและเส้นรอบวงวงเล็ก  แต่กับการวัดที่สี่ไม่ได้เป็นเช่นนั้น!  ความยาวของเส้นรอบวงวงใหญ่จะต่างกันสำหรับผู้สังเกตทั้งสอง  ไม้วัดที่เราวางไว้บนเส้นรอบวงในทิศทางของการเคลื่อนที่ตอนนี้ดูเหมือนจะหด ตัวสำหรับผู้สังเกตภายนอกถ้าเทียบกับไม้วัดที่อยู่นิ่งของเขา   ความเร็วมากกว่าความเร็วของวงกลมในมากและควรจะนำการหดตัวนี้มาพิจารณา  ดังนั้นเราใช้ผลลัพธ์ของทฤษฏีสัมพัทธภาพพิเศษ  ข้อสรุปของเราในที่นี้ก็คือความยาวของเส้นรอบวงวงใหญ่จะต้องต่างกันถ้าวัด โดยผู้สังเกตทั้งสอง  เนื่องจากมีเพียงหนึ่งในความยาวทั้งสี่ที่ถูกวัดโดยผู้สังเกตทั้งสองเท่า นั้นที่ไม่เหมือนกันสำหรับเขาทั้งสอง  อัตราส่วนของรัศมีสองเส้นจะไม่เท่ากับอัตราส่วนของเส้นรอบวงสองเส้นสำหรับ ผู้สังเกตภายในอย่างที่มันเป็นสำหรับผู้สังเกตภายนอก  นี่ก็หมายความว่าผู้สังเกตที่อยู่บนจานไม่อาจยืนยันความถูกต้องของเรขาคณิต ระบบยุคลิดได้ใน รพ ของเขา

          หลังจากที่ได้ผลลัพธ์นี้  ผู้สังเกตที่อยู่บนจานอาจพูดได้ว่าเขาไม่อยากจะพิจารณา  รพ ซึ่งเรขาคณิตระบบยุคลิดไม่ถูกต้อง ความล้มเหลวของเรขาคณิตระบบยุคลิดเป็นผลมาจากการหมุนสัมบูรณ์  เป็นผลมาจากความจริงที่ว่า  รพ  ของเขาไม่ดีและเป็นระบบที่ต้องห้าม   แต่ในการพูดโต้แย้งในลักษณะนี้   เขาปฏิเสธความคิดที่สำคัญที่สุดของทฤษฏีสัมพัทธภาพทั่วไป  ในทางตรงกันข้าม  ถ้าเราอยากจะปฏิเสธการเคลื่อนที่สัมบูรณ์  และเก็บรักษาความคิดเกี่ยวกับทฤษฏีสัมพัทธภาพทั่วไปไว้    ดังนั้นจะต้องสร้างฟิสิกส์ทั้งหมดอยู่บนรากฐานของเรขาคณิตที่ทั่วไปกว่า เรขาคณิตระบบยุคลิด  ไม่มีทางหนีจากผลลัพธ์นี้ถ้าอนุญาติให้ใช้ รพ ทั้งมวล

          การเปลี่ยนแปลงที่ทฤษฏีสัมพัทธภาพทั่วไปทำให้เกิดขึ้นไม่ได้จำกัดอยู่แต่ใน อวกาศเพียงอย่างเดียวเท่านั้น  ในทฤษฏีสัมพัทธภาพพิเศษ  เรามีนาฬิกาที่อยู่นิ่งใน  รพ  ทุกระบบซึ่งมีจังหวะเดียวกันและถูกตั้งเวลาให้ตรงกัน  หรืออีกนัยหนึ่งคือแสดงเวลาเดียวกันพร้อมกัน  เกิดอะไรขึ้นกับนาฬิกาที่อยู่ใน  รพ  ที่ไม่เฉื่อย?  การทดลองเชิงอุดมคติซึ่งใช้จานจะมีประโยชน์อีกครั้ง   ผู้สังเกตภายนอกมีนาฬิกาที่ดีที่สุดเท่าที่จะเป็นได้อยู่ใน รพ เฉื่อยของเขา ทั้งหมดมีจังหวะเดียวกัน   ทั้งหมดถูกตั้งเวลาให้ตรงกัน  ผู้สังเกตภายในหยิบนาฬิกาแบบเดียวกันสองเรือนออกมาและวางเรือนหนึ่งไว้บนวง กลมวงในวงเล็ก   และอีกเรือนหนึ่งวางไว้บนวงกลมวงนอกวงใหญ่  นาฬิกาที่อยู่บนวงกลมในมีความเร็วน้อยมากสัมพัทธ์กับผู้สังเกตภายนอก   ดังนั้นเราอาจสรุปได้อย่างแน่นอนว่าจังหวะของมันจะเหมือนกับจังหวะของนาฬิกา ภายนอก  แต่นาฬิกาที่อยู่บนวงกลมวงใหญ่มีความเร็วสูงมากซึ่งจะเปลี่ยนจังหวะของมัน ถ้าเทียบกับนาฬิากาของผู้สังเกตภายนอกและดังนั้นถ้าเทียบกับนาฬิกาที่วางไว้ บนวงกลมวงเล็กด้วย ดังนั้นนาฬิกาที่หมุนสองเรือนจะมีจังหวะที่ต่างกันซึ่งถ้าใช้ผลลัพธ์ของ ทฤษฏีสัมพัทธภาพพิเศษ   เราจะเห็นอีกครั้งว่าใน รพ ที่หมุนของเราอาจไม่ต้องเตรียมการที่คล้ายกับการเตรียมการใน รพ เฉื่อยได้

          การทำให้กระจ่างชัดเจนว่าข้อสรุปอะไรที่เราจะได้จากการทดลองเชิงอุดมคตินี้ และที่ได้อธิบายไปก่อนหน้านี้ เราลองอ้างการสนทนาระหว่าง นักฟิสิกส์สมัยเก่า  ก  ซึ่งเชื่อในฟิสิกส์ยุคเก่า  และนักฟิสิกส์สมัยใหม่  ม  ซึ่งเข้าใจทฤษฏีสัมพัทธภาพทั่วไปอีกครั้งหนึ่ง ก เป็นผู้สังเกตภายนอกซึ่งอยู่ใน รพ เฉื่อย ส่วนที่ ม อยู่บนจานที่หมุน

          ก. ใน รพ ของคุณ  เรขาคณิตระบบยุคลิดไม่ถูกต้อง  ฉันเฝ้าสังเกตการวัดของคุณ และฉันเห็นด้วยว่าใน รพ ของคุณ อัตราส่วนของเส้นรอบวงสองเส้นไม่เท่ากับอัตราส่วนของรัศมีสองเส้น  แต่สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่า  รพ  ของคุณเป็นระบบที่ต้องห้าม  แต่  รพ  ของฉันมีลักษณะเฉพาะเชิงเฉื่อย  และฉันอาจใช้เรขาคณิตระบบยุคลิดได้อย่างแน่นอน  จานของคุณกำลังเคลื่อนที่อย่างสัมบูรณ์และจากทรรศนะของฟิสิกส์ยุคเก่าเป็น รพ ที่ต้องห้าม ซึ่งกฏของกลศาสตร์ไม่ถูกต้อง
          ม. ฉันไม่ต้องการได้ยินอะไรที่เกี่ยวกับการเคลื่อนที่สัมบูรณ์  รพ  ของฉันก็ดีพอๆ  กับของคุณเลย  สิ่งที่ฉันสังเกตเห็นก็คือการหมุนของคุณสัมพัทธ์กับจานของฉัน  ไม่มีใครจะห้ามฉันให้โยงการเคลื่อนที่ทั้งหมดเข้ากับจานของฉันได้
          ก.แต่ คุณไม่รู้สึกว่ามีแรงประหลาดซึ่งพยายามที่จะทำให้คุณห่างออกไปจากจุดศูนย์ กลางของจานหรือ?   ถ้าจานของคุณไม่ใช่ม้าหมุนที่หมุนอย่างรวดเร็วทั้งสองสิ่งซึ่งคุณสังเกตเห็น จะไม่เกิดขึ้นอย่างแน่นอน  ถ้าคุณไม่ได้สังเกตเห็นแรงที่ดันคุณออกไปภายนอกและถ้าคุณไม่ได้สังเกตเห็น ว่าเรขาคณิตระบบยุคลิดใช้ได้ใน  รพ  ของคุณ ข้อเท็จจริงเหล่านี้ไม่เพียงพอที่จะทำให้คุณเชื่อว่า  รพ ของคุณกำลังเคลื่อนที่แบบสัมบูรณ์หรือ?
          ม.ไม่ จริงเลย!  ฉันสังเกตเห็นข้อเท็จจริงทั้งสองอย่างที่คุณพูดถึงอย่างแน่นอน  แต่ฉันเชื่อว่าสนามโน้มถ่วงประหลาดที่กระทำต่อจานของฉันเป็นต้นเหตุของมัน ทั้งสอง  สนามโน้มถ่วงซึ่งชี้ไปทางด้านนอกของจานจะเปลี่ยนรูปร่างไม้วัดที่แข็งเกร็ง ของฉัน   และเปลี่ยนจังหวะของนาฬิกาของฉัน  สำหรับฉันสนามโน้มถ่วง  เรขาคณิตนอกระบบยุคลิด  นาฬิกาที่มีจังหวะที่ต่างกัน  ทั้งหมดมีความเกี่ยวเนื่องกันอย่างมาก  ถ้ายอมรับ  รพ ใดๆ  ในเวลาเดียวกันฉันจะต้องสมมติถึงการมีอยู่จริงของสนามโน้มถ่วงที่เหมาะสมพร้อมกับอิทธิพลของมันที่มีต่อไม้วัดแข็งเกร็งและนาฬิกา

          ก. แต่คุณรู้ถึงเรื่องยุ่งยากต่างๆที่ทฤษฏีสัมพัทธภาพทั่วไปของคุณสร้างขึ้น หรือไม่?   ฉันอยากทำให้ข้อคิดเห็นของฉันกระจ่างชัดเจน โดยยกตัวอย่างง่ายๆ  ที่ไม่ใช่เชิงฟิสิกส์  นึกภาพเมืองชาวอเมริกันเชิงอุดมคติที่ประกอบด้วยถนนที่ขนานกันพร้อมกับถนน ใหญ่ขนานกันซึ่งทอดผ่านตั้งฉากกับถนน  ระยะทางระหว่างถนนและระหว่างถนนขนาดใหญ่ด้วยจะเท่ากันเสมอ  เพื่อให้สมมติฐานเหล่านี้เป็นจริง  ช่วงถนนต่างๆมีขนาดเดียวกันอย่างไม่ผิดเพี้ยน  ในลักษณะนี้ฉันอาจระบุตำแหน่งของช่วงถนนใดๆได้อย่างง่ายดาย    แต่การก่อสร้างเช่นนั้นจะทำไม่ได้โดยไม่มีเรขาคณิตระบบบุคลิด   ยกตัวอย่าง เช่นเราจึงไม่อาจครอบคลุมโลกทั้งโลกของเราด้วยเมืองชาวอเมริกันเชิงอุดมคติ ขนาดใหญ่หนึ่งเมืองได้   คนที่มองมายังโลกจะทำให้คุณเชื่อได้  แต่เราก็ไม่อาจครอบคลุมจานของคุณด้วย  “การก่อสร้างเมืองชาวอเมริกัน”  เช่นนั้นได้เหมือนกัน  คุณอ้างว่าสนามโน้มถ่วงเปลี่ยนรูปร่างไม้วัดของคุณ   ข้อเท็จจริงที่ว่าคุณไม่อาจยืนยันทฤษฏีบทของยุคลิดเกี่ยวกับความเท่ากันของอัตราส่วนของรัศมีและเส้นรอบวงแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าถ้าคุณดำเนินการก่อ สร้างถนนและถนนขนาดใหญ่เช่นนั้นไปไกลพอ  ไม่ช้าก็เร็วคุณจะเริ่มประสบเรื่องยุ่งยาก  และพบว่ามันไม่ได้ทำบนจานของคุณ  เรขาคณิตของคุณบนจานที่หมุนของคุณเหมือนกันกับเรขาคณิตบนพื้นผิวโค้ง   ซึ่งแน่ละการก่อสร้างถนน - และ – ถนนขนาดใหญ่ทำไม่ได้บนส่วนของพื้นผิวที่มีขนาดใหญ่พอ   สำหรับตัวอย่างเชิงฟิสิกส์มากขึ้นก็คือใช้ระนาบที่เราทำให้ร้อนอย่างไม่สม่ำ เสมอซึ่งมีอุณหภูมิที่ต่างกันบนส่วนที่ต่างกันของพื้นผิว  ด้วยไม้วัดเหล็กอันเล็กๆ  ที่ความยาวขยายตัวไปกับอุณหภูมิ  คุณจะดำเนินการก่อสร้างแบบ “ขนาน-ตั้งฉาก”  ซึ่งฉันได้เขียนรูปไว้ข้างล่างนี้ได้หรือไม่?  ไม่ได้แน่!  “สนามโน้มถ่วง”  ของคุณจะเล่นตลกอย่างเดียวกันกับไม้วัดของคุณอย่างที่การเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิเล่นตลกกับไม้วัดเหล็กเล็กๆ
          ม.  ทั้งหมดนี้ไม่ได้ทำให้ฉันกลัว    การก่อสร้างถนน - ถนนขนาดใหญ่เราจำเป็นต้องกำหนดตำแหน่งของจุดพร้อมกับนาฬิกาเพื่อเรียงลำดับ เหตุการณ์เมืองนี้ไม่จำเป็นต้องเป็น

         ก. แต่ฉันยังเห็นเรื่องยุ่งยากอยู่  คุณถูกบังคับให้ใช้   “โครงสร้างเมืองชาวยุโรป”  ของคุณ ฉันเห็นด้วยว่าคุณอาจเรียงลำดับจุดหรือเหตุการณ์ต่างๆได้  แต่การก่อสร้างนี้จะทำให้การวัดระยะทางต่างๆ อยู่ในสภาพสับสนวุ่ยวาย  มันจะไม่ให้คุณสมบัติเชิงเมตริกของอวกาศกับคุณอย่างที่การก่อสร้างของฉัน ให้  ชาวอเมริกันซึ่งอาจนับว่าโชคดีก็ได้  ที่เป็นชาวยุโรปโบราณ นึกภาพเมืองเชิงอุดมคติของคุณว่าทำขึ้นจากดินน้ำมันและแล้วก็ถูกเปลี่ยนรูป ร่าง  ฉันอาจยังนับจำนวนช่วงถนนและจำถนนและถนนขนาดใหญ่ได้    แม้ว่าสิ่งเหล่านี้ไม่ได้ตรงและมีระยะทางเท่ากันอีกต่อไป  ในทำนองเดียวกันบนโลกของเรา  เส้นลองจิจูดและเส้นละติจูดบ่งบอกถึงตำแหน่งของจุด

ต่างๆ  แม้ว่าไม่ได้มีการก่อสร้าง  “เมืองชาวอเมริกัน”  ยกตัวอย่าง ในเมืองชาวอเมริกันของฉัน   ฉันรู้ว่าการเดินสิบช่วงถนน   ฉันจะต้องครอบคลุมระยะทางเป็นสองเท่าของห้าช่วงถนน   เนื่องจากฉันรู้ว่าช่วงถนนทั้งหมดเท่ากัน   ฉันอาจกำหนดระยะทางต่างๆได้ในทันที
         ม. นั่นก็จริงนะ ในโครงสร้าง  “เมืองชาวยุโรป” ของฉัน ฉันไม่อาจวัดระยะทางต่างๆ ในทันทีโดยใช้จำนวนของช่วงถนนที่ถูกเปลี่ยนรูปร่างได้  ฉันจะต้องรู้อะไรบางอย่างมากกว่านั้นคือฉันจะต้องรู้คุณสมบัติเชิงเรขาคณิต ของพื้นผิวของฉัน  ในลักษณะเดียวกับที่ทุกคนรู้ว่าจากเส้นลองจิจูด  ถึง บนเส้นศูนย์สูตร ไม่ใช่ระยะทางเดียวกับจากเส้นลองจิจูด ถึง ใกล้ขั้วโลกเหนือ  แต่นักบินทุกคนรู้ว่าจะกะระยะทางระหว่างจุดเช่นนั้นสองจุดบนโลกของเราได้ อย่างไร  เพราะว่าเขารู้ว่าคุณสมบัติเชิงเรขาคณิตของมัน    เขาอาจทำมันได้โดยการคำนวณที่อิงกับความรู้เกี่ยวกับตรีโกณมิติเชิงทรงกลม  หรือเขาอาจทำมันในเชิงการทดลองได้โดยการกางใบเรือแล่นผ่านระยะทางสองระยะนี้ ที่อัตราเร็วเดียวกัน  ในกรณีของคุณปัญหาทั้งหมดเป็นเรื่องเล็กน้อย  เพราะว่าถนนและถนนขนาดใหญ่ทั้งหมดห่างกันเป็นระยะทางเท่ากัน  ในกรณีของโลกของเรามันยุ่งยากกว่านั้น ; เส้นเมอริเดียนสองเส้น  และ    พบกันที่ขั้วของโลก และอยู่ห่างกันไกลที่สุดบนเส้นศูนย์สูตร ในทำนองเดียวกันใน  “โครงสร้างเมืองชาวยุโรป”  ของฉัน ฉันจะต้องรู้อะไรบางอย่างมากกว่าคุณที่อยู่ใน  “โครงสร้างเมืองชาวอเมริกัน”  ของคุณ  เพื่อที่จะกำหนดระยะทางต่างๆ  ฉันอาจได้ความรู้เพิ่มเติมนี้เพิ่มมาได้โดยการศึกษาคุณสมบัติเชิงเรขาคณิต ของคอนตินิวอัมของฉันในกรณีโดยเฉพาะทุกกรณี

         ก.  แต่ทั้งหมดนี้เพียงอยากแสดงให้เห็นว่ามันไม่สะดวกและยุ่งยากเพียงใดที่จะ เลิกใช้โครงสร้างง่ายๆ ของเรขาคณิตระบบยุคลิด  สำหรับนั่งร้านที่ซับซ้อนซึ่งคุณถูกผูกมัดให้ใช้  สิ่งนี้จำเป็นจริงๆ หรือ?
         ม. ฉันเกรงว่าเป็นเช่นนั้น ถ้าเราต้องการประยุกต์ฟิสิกส์ของเราไปใช้กับ รพ ใดๆ โดยไม่มี รพ เฉื่อยที่ลึกลับ ฉันเห็นด้วยว่าเครื่องมือเชิงคณิตศาสตร์ของฉันยุ่งยากกว่าของคุณ  แต่สมมติฐานเชิงฟิสิกส์ของฉันเรียบง่ายกว่าและเป็นธรรมชาติกว่า

         การอภิปรายถูกกำหนดให้อยู่ในคอนตินิวอัมสอง - มิติ ประเด็นที่ยังเป็นข้อถกเถียงกันอยู่ในทฤษฏีสัมพัทธภาพทั่วไปยุ่งยากขึ้นไป อีก  เนื่องจากมันไม่ใช่สอง - มิติ แต่เป็นคอนตินิวอัมเวลา - อวกาศสี่ - มิติ แต่ความคิดเหมือนกับความคิดที่เราได้ร่างภาพคร่าวๆ ไว้ในกรณีสอง - มิติ เราไม่อาจใช้นั่งร้านเชิงกลของท่อนไม้ที่ขนานและตั้งฉากกัน และนาฬิกาที่ถูกตั้งเวลาให้ตรงกันในทฤษฏีสัมพัทธภาพทั่วไปเหมือนในทฤษฏีสัม พัทธภาพพิเศษได้ ใน รพ ที่ไม่เจาะจงเราไม่อาจกำหนดจุดและเวลาที่เหตุการณ์เกิดขึ้นโดยการใช้ไม้วัด แข็งเกร็ง  นาฬิกาที่มีจังหวะสม่ำเสมอและถูกตั้งเวลาให้ตรงกันเหมือนใน รพ เฉื่อยของทฤษฏีสัมพัทธภาพพิเศษได้ เราอาจยังเรียงลำดับเหตุการณ์ต่างๆได้   ด้วยไม้วัดของระบบยุคลิดของเราและนาฬิกาที่จังหวะไม่ตรงกันของเราได้   แต่การวัดจริงๆ ที่กำหนดให้ต้องมีไม้วัดแข็งเกร็งและนาฬิกาที่มีจังหวะสม่ำเสมอและถูกตั้ง เวลาให้ตรงกันที่สมบูรณ์  เราอาจทำได้ใน รพ เฉื่อยเฉพาะที่เท่านั้น สำหรับสิ่งนี้ทฤษฏีสัมพัทธภาพพิเศษทั้งทฤษฏีถูกต้อง ; แต่ รพ ที่  “ดี”  ของเราเป็นเพียงเฉพาะที่เท่านั้น  ลักษณะเฉพาะเชิงเฉื่อยของมันถูกจำกัดในอวกาศและเวลา แม้แต่ใน รพ ที่ไม่เจาะจงของเรา เราอาจคาดผลของการวัดที่ถูกกระทำใน รพ เฉื่อยเฉพาะที่ล่วงหน้าได้ แต่สำหรับสิ่งนี้เราจะต้องรู้ลักษณะเฉพาะเชิงเรขาคณิตของคอนตินิวอัมเวลา - อวกาศของเรา

         การทดลองเชิงอุดมคติของเราชี้ให้เห็นเพียงลักษณะเฉพาะทั่วไปของฟิสิกส์เชิง สัมพัทธภาพแบบใหม่เท่านั้น มันแสดงให้เราเห็นว่าปัญหาพื้นฐานของเราก็คือ ปัญหาของความโน้มถ่วง  มันแสดงให้เราเห็นด้วยว่าทฤษฏีสัมพัทธภาพทั่วไปนำไป สู่การวางหลักเกณฑ์ทั่วไปของแนวความคิดเชิงเวลาและเชิงอวกาศที่ไปไกลกว่า